PROSES KOGNITIF MATEMATIKA

MENGIDENTIFIKASI PROSES KOGNITIF PENTING UNTUK BELAJAR MATEMATIKA TETAPI SERING DIABAIKAN

Abstrak

Presentasi ini memperkenalkan satu set kompetensi matematika itu layak diberi perhatian lebih di ruang kelas matematika kami, di dasar yang dimiliki oleh kompetensi ini sangat terkait ke peningkatan level matematika keaksaraan. Presenter berpendapat demikian meluasnya representasi dari kompetensi ini di kalangan umum rakyat berkontribusi untuk tidak dapat diterima ukuran besar pada matematika indeks teror. Argumen yang mendukung ini kompetensi keluar dari Program OECD untuk Internasional  Penilaian Siswa (PISA). Itu didasarkan pada hasil penelitian yang dilakukan oleh anggota matematika PISA kelompok ahli. Penelitian itu akan menjadi dijelaskan, kompetensi di bawah diskusi akan ditentukan, dan kasus untuk penekanan lebih besar pada ini kompetensi akan dibuat.

pengantar

Program OECD untuk Penilaian Pelajar Internasional (PISA) bertujuan mengukur seberapa efektif Anak usia 15 tahun dapat menggunakan akumulasi mereka

pengetahuan matematika untuk ditangani 'Tantangan dunia nyata'. Langkah-langkahnya

kita berasal dari proses ini disebut sebagai ukuran matematika keaksaraan . Ide keaksaraan tampaknya ada benar-benar menguasai di antara negara-negara itu yang berpartisipasi dalam PISA. Itu umumnya dianggap sangat penting bahwa orang dapat membuat penggunaan produktif mereka pengetahuan matematika dalam diterapkan dan situasi praktis.

Dalam presentasi ini saya akan menunjukkan beberapa item PISA ilustratif sebagai cara memperkenalkan satu set matematika kompetensi yang penting bagi kepemilikan dan pengembangan literasi matematika, dan akan mengusulkan bahwa ini layak mendapat tempat yang lebih kuat kelas matematika kami.

Ilustratif Item PISA

Dua item dari unit yang berjudul Ekspor melibatkan menafsirkan data yang disajikan dalam grafik batang dan diagram lingkaran. Itu panggilan pertanyaan pertama untuk langsung interpretasi bentuk grafik yang sudah dikenal: mengidentifikasi bahwa grafik batang mengandung informasi yang diperlukan, mencari bar untuk 1998 dan membaca yang dibutuhkan angka yang dicetak di atas bar.

Pertanyaan kedua lebih terlibat, karena memerlukan penautan informasi dari dua grafik yang disajikan: menerapkan alasan yang sama dibutuhkan pertanyaan pertama untuk masing-masing dari keduanya grafik untuk mencari data yang diperlukan, lalu

melakukan perhitungan menggunakan keduanya angka yang ditemukan dari grafik (temukan 9%42,6 juta).

Pertanyaan selanjutnya adalah Carpenter disajikan, yang membutuhkan beberapa pengetahuan atau penalaran geometri. Keakraban dengan sifat dasar bentuk geometris harus memadai untuk menetapkan bahwa sementara 'horisontal' komponen dari empat bentuk tersebut setara, sisi miring Desain B lebih panjang dari jumlah komponen 'vertikal' dari masing-masing bentuk lain.

Apa yang kita temukan ketika masalah seperti ini diberikan secara acak sampel berusia 15 tahun di lebih dari 60 negara di seluruh dunia?

Tabel 1 menyajikan persen yang benar data untuk semua siswa internasional dan

semua siswa Australia yang diberikan pertanyaan yang tercantum dalam PISA 2003 survei.

Tabel menunjukkan di mana pertanyaan yang dipublikasikan secara publik ini sesuai dalam konteks keseluruhan PISA 2003 instrumen survei.  Ekspor Q1 adalah satu dari barang-barang yang lebih mudah dalam ujian, sementara Ekspor Q2 cukup sulit. barang. Carpenter adalah salah satu yang paling banyak item yang sulit.

Apakah ada masalah?

Kita bisa berspekulasi tentang perbedaan dalam tingkat kinerja antara Siswa Australia dan internasional, tapi untuk tujuan langsungku, aku mungkin hanya menyarankan itu sebagai matematika guru, saya akan berharap itu kebanyakan anak usia 15 tahun bisa menjawab pertanyaan seperti ini dengan benar. Ini juga memiliki implikasi untuk apa yang terjadi kepada mereka yang berusia 15 tahun ketika mereka meninggalkan sekolah, karena matematika kemampuan siswa menunjukkan pada saat mereka mendekati sekolah meninggalkan usia pertanda pendekatan orang-orang itu akan menggunakan matematika di kemudian hari.

Merupakan masalah yang banyak siswatidak tahu matematika yang dibutuhkan

konsep; yang belum mereka pelajari keterampilan matematika yang dibutuhkan? Atau

mungkinkah itu terlalu banyak 15 tahun- olds tidak dapat mengaktifkan pengetahuan yang dibutuhkan saat itu bisa menjadi berguna; bahwa ada putuskan hubungan antara cara di mana banyak dari kita telah diajarkan, dan peluang untuk menggunakan matematika dalam kehidupan di luar sekolah?

Biasanya peluang untuk digunakan matematika yang kita temui adalah tidak dikemas dengan cara yang sama seperti mereka berada di sekolah. Di sana, Anda tahu kapan Anda pergi ke kelas matematika. Ketika kamu pergi ke kelas itu, kamu melakukannya jadi berharap Anda akan melakukan banyak hal terkait dengan matematika. Anda punya guru matematika yang mengajar dan menunjukkan ide-ide matematika dan keterampilan, memberi Anda beberapa contoh, dan kemudian mengarahkan Anda ke satu set latihan kurang lebih seperti yang dulu menunjukkan gagasan atau keterampilan Anda belajar. Anda diberi instruksi seperti 'hitung benda-benda ini', atau 'tambahkan angka-angka ini ', atau' menggambar grafik ini ', atau 'tandai ungkapan ini'. Itu tujuan jelas matematis.

Di dunia nyata, itu tidak normal bagaimana matematika datang kepada kita. Kita

harus membuat penilaian dan keputusan tentang apa yang matematika pengetahuan mungkin relevan, dan bagaimana untuk menerapkan pengetahuan itu. Itu berasumsi kami cukup termotivasi pada awalnya tempat untuk bahkan memperhatikan matematika itu mungkin relevan.

Ini membawa kita kembali ke salah satu yang paling banyak ide-ide penting dan berpengaruh itu mendasari proyek PISA: penekanannya pada apa yang disebut keaksaraan . PISA mengukur dan melaporkan sejauh mana Anak usia 15 tahun di negara yang berpartisipasi telah mengembangkan keterampilan literasi mereka di matematika dan survei lainnya domain sehingga mereka dapat menerapkannya pengetahuan untuk memecahkan kontekstual masalah - masalah yang lebih seperti tantangan dan peluang kami bertemu di pekerjaan kami, liburan, dan di hidup kita sebagai warga negara. Tapi apa itu kemampuan yang melengkapi orang dewasa untuk bertemu tantangan seperti itu?

Kompetensi matematis - penelitian

Kerangka kerja yang mengatur bagian matematika dari survei PISA dilakukan pada tahun 2000, 2003, 2006 dan 2009 menjelaskan satu set delapan kompetensi matematis. Untuk tujuan dari kegiatan penelitian kami telah dilakukan, ini telah dikonfigurasi sebagai satu set enam kompetensi yang mendasar bagi konsep tersebut literasi matematika yang PISA mendukung, yaitu kapasitas untuk menggunakan pengetahuan matematika seseorang untuk menangani tantangan yang bisa terjadi setuju dengan perawatan matematika. Penelitian kami menunjukkan hal ini kompetensi dapat digunakan untuk menjelaskan suatu proporsi yang sangat besar dari variabilitas dalam kesulitan matematika PISA item tes, mungkin sebanyak 70 persen dari variabilitas itu. Untuk mengidentifikasi faktor yang menjelaskan banyak hal membuat item matematika sulit adalah sebuah penemuan penting.

Kompetensi tersebut dapat dipikirkan sebagai satu set karakteristik individu atau kualitas yang dimiliki menjadi lebih besar atau lebih sedikit oleh individu. Namun, kita juga bisa memikirkan ini kompetensi dari 'perspektif' masalah matematika, atau survei

pertanyaan: sejauh mana panggilan pertanyaan untuk aktivasi masing-masing kompetensi ini? Dalam mengikuti bagian enam kompetensi didefinisikan, dan permintaan tingkat tugas untuk aktivasi setiap kompetensi di tingkat yang berbeda dijelaskan.

Komunikasi

Literasi matematika dalam praktek melibatkan komunikasi . Bacaan, pernyataan decoding dan interpreting, pertanyaan, tugas atau objek memungkinkan individu untuk membentuk model mental situasi, langkah penting dalam memahami, mengklarifikasi dan merumuskan masalah. Selama proses solusi, yang melibatkan analisis masalah menggunakan matematika, informasi mungkin perlu ditafsirkan lebih lanjut, dan hasil antara diringkas dan disajikan. Nanti, sekali solusi telah ditemukan, pemecah masalah

mungkin perlu menyajikan solusi, dan mungkin penjelasan atau pembenaran, untuk yang lainnya.

Berbagai faktor menentukan level dan tingkat komunikasi permintaan tugas. Untuk menerima aspek komunikasi, faktor-faktor ini termasuk panjang dan kompleksitas teks atau objek lain untuk dibaca dan ditafsirkan, keakraban dari ide atau informasi yang dimaksud dalam teks atau objek, sejauh mana informasi yang diperlukan perlu terlepas dari informasi lain, pengurutan informasi dan apakah ini cocok dengan pemesanan dari proses pemikiran yang diperlukan untuk menafsirkan dan menggunakan informasi, dan sejauh mana elemen yang berbeda (seperti teks, elemen grafis, grafik, tabel, grafik) perlu ditafsirkan dalam hubungan satu sama lain. Untuk aspek komunikasi yang ekspresif, tingkat kerumitan terendah adalah diamati dalam tugas-tugas yang hanya menuntut penyediaan jawaban numerik. Sebagai

persyaratan untuk yang lebih luas ekspresi solusi ditambahkan, untuk contoh saat lisan atau tulisan penjelasan atau pembenaran dari hasil diperlukan, permintaan komunikasi

meningkat.

Mathematising

Literasi matematika dalam praktek dapat melibatkan transformasi masalah didefinisikan di dunia nyata secara ketat bentuk matematis (yang bisa termasuk penataan, pembuatan konsep, pembuatan asumsi, merumuskan model), atau menafsirkan solusi matematika atau model matematika dalam kaitannya dengan masalah asli.

Permintaan untuk matematisasi muncul dalam bentuk yang paling kompleks ketika pemecah masalah perlu menafsirkan dan menyimpulkan langsung dari model yang diberikan; atau untuk terjemahkan langsung dari situasi menjadi matematika (misalnya, ke struktur dan membuat konsep situasi di acara yang relevan, untuk mengidentifikasi dan memilih variabel yang relevan, kumpulkan yang relevan pengukuran dan membuat diagram). Permintaan mathematisation meningkat dengan persyaratan tambahan untuk dimodifikasi atau gunakan model yang diberikan untuk diambil mengubah kondisi atau menafsirkan hubungan yang disimpulkan; untuk memilih model akrab dalam batasan dan jelas kendala diartikulasikan; atau untuk membuat model untuk variabel yang diperlukan, hubungan dan batasannya eksplisit

dan bersih. Pada tingkat yang lebih tinggi, Permintaan mathematisation terkait dengan kebutuhan untuk membuat atau menafsirkan sebuah model dalam situasi di mana banyak asumsi, variabel, hubungan dan batasan harus diidentifikasi atau didefinisikan, dan untuk memeriksa model itu memenuhi persyaratan tugas; atau untuk mengevaluasi atau membandingkan model.

Perwakilan

Kompetensi ini dapat berarti memilih, merancang, menafsirkan, menerjemahkan antara, dan menggunakan berbagai representasi untuk menangkap suatu situasi, berinteraksi dengan masalah, atau menghadirkan pekerjaan seseorang. Representasi disebut termasuk persamaan, rumus, grafik, tabel, diagram, gambar, tekstual deskripsi dan bahan konkrit.

Kemampuan matematika ini dipanggil pada level terendah dengan kebutuhan untuk langsung menangani familiar yang diberikan representasi, misalnya menerjemahkan langsung dari teks ke angka, atau membaca nilai langsung dari grafik

atau meja. Lebih menuntut secara kognitif tugas representasi panggilan untuk seleksi dan interpretasi satu representasi standar atau akrab dalam kaitannya dengan situasi, dan pada tingkat permintaan yang lebih tinggi masih ketika mereka perlu menerjemahkan antara atau menggunakan dua atau lebih representasi berbeda bersama dalam situasi, termasuk memodifikasi representasi; atau ketika permintaan untuk merancang representasi situasi. Lebih tinggi tingkat permintaan kognitif ditandai dengan kebutuhan untuk memahami dan menggunakan representasi standar yang membutuhkan decoding dan interpretasi substansial; untuk menyusun representasi yang menangkap aspek kunci dari situasi yang kompleks; atau membandingkan atau mengevaluasi yang berbeda representasi.

Penalaran dan argumen

Keterampilan ini melibatkan secara logis berakar proses berpikir yang mengeksplorasi dan tautan elemen masalah untuk membuat kesimpulan dari mereka, periksa  pembenaran yang diberikan, atau memberikan justifikasi pernyataan.

Dalam tugas permintaan yang relatif rendah aktivasi kemampuan ini, alasannya

diperlukan hanya melibatkan berikut instruksi langsung. Sedikit lebih tinggi tingkat permintaan, barang membutuhkan beberapa refleksi untuk menghubungkan potongan-potongan yang berbeda informasi untuk dibuat kesimpulan (misalnya, untuk menghubungkan komponen terpisah hadir di masalah, atau menggunakan penalaran langsung dalam satu aspek masalah). Di tingkat yang lebih tinggi, tugas panggilan untuk analisis informasi untuk mengikuti atau buat argumen multi-langkah atau untuk

menghubungkan beberapa variabel; atau untuk alasan dari sumber informasi yang terhubung. Di tingkat permintaan yang lebih tinggi, di sana adalah kebutuhan untuk mensintesis dan mengevaluasi informasi, untuk menggunakan atau membuat rantai alasan untuk membenarkan kesimpulan, atau untuk membuat generalisasi menggambar

dan menggabungkan beberapa elemen informasi secara berkelanjutan dan terarah cara.

Merancang strategi

Literasi matematika dalam praktek sering membutuhkan strategi penyusunan untuk memecahkan masalah secara matematis . Ini melibatkan satu set kontrol kritis

proses yang memandu seseorang untuk secara efektif mengenali, merumuskan dan memecahkan masalah. Keterampilan ini dicirikan sebagai memilih atau merancang rencana atau strategi untuk menggunakan matematika untuk memecahkan masalah yang timbul dari tugas atau konteks, serta membimbingnya pelaksanaan.

Dalam tugas dengan permintaan yang relatif rendah untuk kemampuan ini, seringkali cukup untuk mengambil tindakan langsung, di mana strategi yang dibutuhkan dinyatakan atau jelas. Pada tingkat permintaan yang sedikit lebih tinggi, mungkin ada kebutuhan untuk memutuskan strategi yang sesuai yang menggunakan

informasi yang diberikan relevan untuk mencapai kesimpulan. Permintaan kognitif lebih jauh meningkat dengan kebutuhan untuk merancang dan membangun strategi untuk berubah informasi yang diberikan untuk mencapai suatu kesimpulan. Bahkan lebih banyak tugas menuntut panggilan untuk pembangunan strategi yang diuraikan untuk menemukan solusi lengkap atau kesimpulan umum; atau untuk mengevaluasi atau membandingkan berbagai kemungkinan strategi.

Menggunakan simbolik, formal dan bahasa teknis dan operasi

Ini melibatkan pengertian, memanipulasi, dan memanfaatkan ekspresi simbolis dalam suatu konteks matematis (termasuk ekspresi aritmatika dan operasi) diatur oleh konvensi matematika dan aturan. Itu juga melibatkan pemahaman dan memanfaatkan konstruksi formal berdasarkan definisi, aturan dan sistem formal dan juga menggunakan algoritma dengan entitas-entitas ini. Simbol, aturan, dan sistem yang digunakan akan bervariasi sesuai dengan apa yang khusus pengetahuan konten matematika diperlukan untuk tugas khusus untuk merumuskan, memecahkan atau menafsirkan matematika.

Permintaan untuk aktivasi ini kemampuan sangat bervariasi di seluruh tugas. Dalam tugas yang paling sederhana, tidak ada matematika aturan atau ekspresi simbolik perlu untuk diaktifkan di luar fundamental perhitungan aritmatika, beroperasi dengan angka kecil atau mudah dikerjakan. Lebih tugas yang menuntut mungkin melibatkan langsung penggunaan hubungan fungsional yang sederhana, baik implisit maupun eksplisit (misalnya, hubungan linear akrab); penggunaan simbol matematika formal (untuk contoh, dengan substitusi langsung atau perhitungan aritmatika berkelanjutan melibatkan pecahan dan desimal); atau sebuah aktivasi dan penggunaan langsung yang formal definisi matematis, konvensi atau konsep simbolik. Peningkatan kognitif permintaan ditandai oleh kebutuhan untuk penggunaan dan manipulasi eksplisit simbol (misalnya, secara aljabar menata ulang rumus), atau dengan aktivasi

dan penggunaan aturan matematika, definisi, konvensi, prosedur atau formula menggunakan kombinasi banyak hubungan atau simbolik konsep. Dan tingkat yang lebih tinggi permintaan ditandai oleh kebutuhan untuk aplikasi multi-langkah formal

prosedur matematika; kerja fleksibel dengan fungsional atau terlibat hubungan aljabar; atau menggunakan keduanya teknik dan pengetahuan matematika untuk menghasilkan hasil.

Penelitian tentang kompetensi ini melihat sekelompok pakar menetapkan peringkat untuk item matematika PISA sesuai ke tingkat setiap kompetensi menuntut penyelesaian yang sukses setiap item. Set item dinilai oleh beberapa ahli, dan peringkatnya dianalisis: peringkat rata-rata digunakan sebagai prediktor dalam regresi pada kesulitan empiris item. Itu tingkat permintaan untuk aktivasi ini enam kompetensi sangat bagus prediktor kesulitan tes barang.

Pada Tabel 2 peringkat kompetensi item ilustratif yang disajikan sebelumnya, ditugaskan oleh tiga ahli, dilaporkan.

 

Untuk Ekspor Q1, barang yang relatif mudah, komunikasi dan representasi kompetensi adalah yang paling kuat tanya, dengan yang diminta orang lain sedikit atau tidak sama sekali. Komunikasi permintaan terletak pada kebutuhan untuk menafsirkan

cukup akrab namun sedikit bahan stimulus yang kompleks, dan permintaan representasi terletak pada kebutuhan untuk menangani dua representasi grafis dari data. Untuk Q2, representasi permintaan bahkan lebih tinggi karena kebutuhan untuk memproses dua grafik lebih detail. Masing-masing yang lain kompetensi juga dipanggil untuk beberapa derajat, dengan kebutuhan untuk berpikir , beberapa pemikiran strategis , dan memanggil beberapa pengetahuan prosedural tingkat rendah melakukan perhitungan yang diperlukan.

Untuk Carpenter , alasannya diperlukan terdiri dari permintaan yang paling signifikan, tetapi masing-masing dari kompetensi lainnya adalah menuntut untuk beberapa derajat.

Pesan?

Tentu saja penelitian ini lebih lanjut untuk pergi; Namun demikian, hasil ini kerja cukup memberi semangat bagi saya untuk membuat beberapa dugaan tentang pentingnya rangkaian kompetensi ini, dan tentang bagaimana informasi ini mungkin

digunakan di ruang kelas matematika:

• Kepemilikan enam ini kompetensi sangat penting untuk aktivasi matematika seseorang pengetahuan.

•  Semakin banyak individu memilikinya kompetensi ini, semakin mampu dia akan menjadi efektif penggunaan matematikanya pengetahuan untuk memecahkan kontekstual masalah.

• Kompetensi ini seharusnya ditargetkan secara langsung dan tingkat lanjut kelas matematika kami.

Secara umum, tidak cukup waktu dan upaya dikhususkan dalam matematika ruang kelas untuk mendorong perkembangan pada siswa kami yang fundamental ini kompetensi matematis. Bahkan, struktur kurikulum yang digunakan guru matematika beroperasi tidak memberikan dorongan yang cukup dan insentif bagi mereka untuk fokus pada ini kompetensi sebagai hasil yang krusial, bersamaan dengan pengembangan konsep dan keterampilan matematika itu biasanya menjadi panggung utama.

  

Tindakan apa yang bisa dilakukan memperbaiki situasi ini?